Démonstration du théorème de la médiane

Soient deux points \(A\) et \(B\) distincts et \(I\) le milieu de \([AB]\). On cherche à prouver que pour tout point \(M\) du plan, \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}\).Ainsi dans le triangle \(ABM\), la droite \((MI)\) est une médiane passant par \(M\) et par \(I\) (qui est le milieu de \([AB]\)).

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})\)
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI}^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}\)
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}\)

\(I\) est le milieu de \([AB]\) donc on a :

\(\overrightarrow{IA}\) et \(\overrightarrow{IB}\) sont colinéaires et de sens contraires donc \(\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -IA \times IB\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -\frac{AB}{2} \times \frac{AB}{2}\) car \(I\) est le milieu de \([AB]\).
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = -\frac{AB^2}{4}\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{0} + (-\frac{AB^2}{4})\)
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -\frac{AB^2}{4}\)
Ce théorème de la médiane est utilisé dans le calcul de longueurs avec les vecteurs, mais également pour démontrer la propriété de caractérisation d'un cercle.

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