Démonstration de la propriété de caractérisation d’un cercle

Soient \(A\), \(B\) et \(M\) trois points distincts du plan.
Soit \(I\), le milieu de \([AB]\).

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow MI^2 -\frac{AB^2}{4} = 0\) d’après le théorème de la médiane.
\(\Leftrightarrow MI^2 = \frac{AB^2}{4} \Leftrightarrow MI = \sqrt{\frac{AB}{4}}\) car \(MI \geq 0\)
\(\Leftrightarrow MI = \frac{AB}{2}\)

\(\Leftrightarrow M\) appartient au cercle de centre \(I\) et de rayon \(\frac{AB}{2}\).
\(\Leftrightarrow M\) appartient au cercle de centre \(I\) et de diamètre \(AB^2\).

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