Expression de la somme partielle de la série alternée des entiers : \(1-2+3-4+...\)

Soit \(S_n\) la \(n\)-ième somme partielle de la série alternée des entiers.

Si \(n\) est pair :
\(S_n = 1 -2 +3 -4 +5-6+...+(n-1)-n\)
\(S_n = (1+3+5+...+(n-1)) - (2+4+6+...+n)\)
\(S_n = 2 \times (1+2+3+...+\frac{n}{2}) - \frac{n}{2} - 2 \times (1+2+3+...+\frac{n}{2})\)
\(S_n = - \frac{n}{2}\)

D'autre part, si \(n\) est impair :
\(S_n = 1 -2 +3 -4 +5-6...+n\)
\(S_n = (1+3+5+...+n) - (2+4+6+...+(n-1))\)
\(S_n = 2 \times (1+2+3+...+\frac{n+1}{2}) - \frac{n+1}{2} - 2 \times (1+2+3+...+\frac{n-1}{2}) \)
Pour obtenir l'expression des la somme des premiers entiers naturels, on utilise la formule démontrée ici. On peut alors écrire :
\(S_n = 2 \times \frac{\frac{n+1}{2} (\frac{n+1}{2}+1)}{2} - \frac{n+1}{2} - 2 \times \frac{\frac{n-1}{2}(\frac{n-1}{2}+1)}{2}\)
\(S_n = \frac{n+1}{2}\times\frac{n+3}{2}- \frac{n-1}{2} - \frac{n-1}{2}\times\frac{n+1}{2}\)
\(S_n = \frac{n+1}{2} \times (\frac{n}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 - \frac{n}{2} + \frac{1}{2})\)
\(S_n = \frac{n+1}{2} \times 1 = \frac{n+1}{2}\)

On cherche maintenant à combiner ces deux formules pour n'en avoir qu'une seule, pour cela on se sert de la puissance \((-1)^n\) qui vaut \(-1\) si \(n\) est impair et \(1\) si \(n\) est pair.

Si \(n\) est pair :
\(S_n = (-1) \times (\frac{n}{2} + \frac{1}{4})+\frac{1}{4}\)
Si \(n\) est impair :
\(S_n = 1 \times (\frac{n}{2} + \frac{1}{4})+\frac{1}{4}\)

On peut ainsi écrire :
\(S_n = (-1)^{n+1} \times (\frac{2n+1}{4})+\frac{1}{4}\)

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