Publié le lundi 18 janvier 2021
Modifié le dimanche 14 février 2021 à 01h17 3 min
Modifié le dimanche 14 février 2021 à 01h17 3 min
Théorème de Thalès
Théorème : Si les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’une part et \(A\), \(C\) et \(N\) d’autre part sont alignés, et si les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles, alors :
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)
Il existe deux configurations possibles :\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)
Remarque : On pourrait aussi dire que \((BM)\) et \((CN)\) sont sécantes en \(A\) et que \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles. On justifie ainsi que l’on est bien dans une configuration pour appliquer le théorème de Thalès.
Ce théorème sert principalement pour calculer des longueurs dans des triangles. En physique, il est utilisé en optique pour les relations de grandissement et de conjugaison de Descartes.Exemple :
On attribue ce théorème à Thalès de Milet, (vers 625-646 avant J.C.), astronome, mathématicien et philosophe originaire de la cité ionienne de Millet, ancienne cité grecque aujourd'hui située sur la côte de la Turquie. C'est en prédisant l'éclipse du Soleil de 585 avant J.C., qu'il gagne sa célébrité. En plus de son théorème dans les triangles qu'on lui attribue, il a utilisé la géométrie pour mesurer la hauteur des pyramides et des distances en mer. Cependant, la première démonstration écrite connue est donnée dans les Eléments d'Euclide.
On cherche la hauteur d'un phare.
Pour cela, on mesure son ombre au sol et l'ombre d'un bâton de \(1,5m\) perpendiculaire au sol. L'ombre du bâton mesure \(3,4m\) et celle du phare mesure \(15,2m\). Calculer la hauteur du phare.
\([BC]\) représente le bâton et \([BA]\) son ombre.
\([NM]\) représente le phare et \([MA]\) son ombre.
Les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’une part et \(A\), \(C\) et \(N\) d’autre part sont alignés. Les droites \((NM)\) et \((BC)\) sont toutes deux perpendiculaires à \((MA)\), donc \((NM)\) et \((BC)\) sont parallèles.
On retrouve une configuration dans laquelle on peut appliquer le théorème de Thalès.
On a alors :
\(\frac{AB}{AM} = \frac{BC}{MN}\)
\(\Leftrightarrow MN = \frac{BC \times AM}{AB}\)
\(\Leftrightarrow MN = \frac{1,5 \times 15,2}{3,4} = \frac{114}{17}\)
\(\Leftrightarrow MN \approx 6,7 m\)
Le phare mesure donc \(6,7\) mètres de haut environ.
Pour cela, on mesure son ombre au sol et l'ombre d'un bâton de \(1,5m\) perpendiculaire au sol. L'ombre du bâton mesure \(3,4m\) et celle du phare mesure \(15,2m\). Calculer la hauteur du phare.
\([BC]\) représente le bâton et \([BA]\) son ombre.
\([NM]\) représente le phare et \([MA]\) son ombre.
Les points \(A\), \(B\) et \(M\) d’une part et \(A\), \(C\) et \(N\) d’autre part sont alignés. Les droites \((NM)\) et \((BC)\) sont toutes deux perpendiculaires à \((MA)\), donc \((NM)\) et \((BC)\) sont parallèles.
On retrouve une configuration dans laquelle on peut appliquer le théorème de Thalès.
On a alors :
\(\frac{AB}{AM} = \frac{BC}{MN}\)
\(\Leftrightarrow MN = \frac{BC \times AM}{AB}\)
\(\Leftrightarrow MN = \frac{1,5 \times 15,2}{3,4} = \frac{114}{17}\)
\(\Leftrightarrow MN \approx 6,7 m\)
Le phare mesure donc \(6,7\) mètres de haut environ.
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