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Démonstration de la linéarité de la moyenne - Calculus


Publié le dimanche 07 février 2021
Modifié le dimanche 07 février 2021 à 19h50 1 min

Démonstration de la linéarité de la moyenne

algèbre
moyenne
statistique
Définition : Soient \(a\) et \(b\) des réels. Si la série \((x_i)\) a pour moyenne \(m\), alors la série \((ax_i+b)\) a pour moyenne \(am+b\).
Soit la série de données \((x_i)\) représentée dans le tableau suivant :

Valeur\(x_1\)\(x_2\)...\(x_i\)
Effectif\(n_1\)\(n_2\)...\(n_i\)


La moyenne pondérée est alors :

\(m = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + ... + n_i \times x_i}{n_1 + n_2 + ... + n_i}\)


Soit deux réels \(a\) et \(b\) fixés, la série \((ax_1+b)\) est représentée dans le tableau suivant :

Valeur\(ax_1+b\)\(ax_2+b\)...\(ax_i+b\)
Effectif\(n_1\)\(n_2\)...\(n_i\)


La moyenne de cette nouvelle série est alors :

\(M = \frac{n_1 \times (ax_1+b) + n_2 \times (ax_2+b) + ... + n_i \times (ax_i+b)}{n_1 + n_2 + ... + n_i}\)
\(M = \frac{a \times (n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_ix_i) + b \times (n_1 + n_2 + ... + n_i)}{n_1 + n_2 + ... + n_i}\)
\(M = a \times \frac{(n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_ix_i)}{n_1 + n_2 + ... + n_i} + b = a \times m + b\)


Nous avons ainsi démontré que si la série \((x_i)\) a pour moyenne \(m\), alors la série \((ax_i+b)\) a pour moyenne \(am+b\).

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