Publié le lundi 19 octobre 2020
Modifié le dimanche 04 avril 2021 à 15h33 3 min
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Démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers
Définition : un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même. \(1\) n'est ainsi pas un nombre premier puisqu'il n'a qu'un diviseur.
On cherche à démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, pour cela nous utiliserons la méthode d'Euclide, mathématicien grec qui vécu environ 300 ans avant J.C. Il est particulièrement connu pour les Eléments, ouvrage dans lequel il rédigea cette démonstration. Il s'agit de la proposition 20 du livre IX, aussi appelée théorème d'Euclide sur les nombres premiers.On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers, et que l'on en ait une liste exhaustive, c'est-à-dire complète.
On note \(N\) le produits des nombres premiers de cette liste.
\(N\) n'est divisible par aucun des nombres premiers initiaux. En effet le reste de la division euclidienne de \(N\) par un de ces nombres est toujours \(1\).
Il y a alors deux cas possibles :
- Soit \(N\) est premier mais il ne fait pas partie de la liste initiale.
- Soit \(N\) est composé mais aucun de ses facteurs premiers n'est dans la liste initiale.
Dans les deux cas, la liste initiale apparaît comme incomplète, ce qui contredit l'hypothèse qu'elle est exhaustive et qu'il existe un nombre fini de nombres premiers.
On a ainsi démontré qu'il existe un nombre infini de nombres premiers.
Exemples :
Soit la liste de nombres premiers \(2;3;5\).
On calcule le produit de ces nombres plus \(1\) :
\(2 \times 3 \times 5 + 1 = 31\)
\(31\) est premier mais n'est pas dans la liste initiale qui est donc incomplète.
On calcule le produit de ces nombres plus \(1\) :
\(2 \times 3 \times 5 + 1 = 31\)
\(31\) est premier mais n'est pas dans la liste initiale qui est donc incomplète.
Soit la liste de nombres premiers \(2;3;5;7;11;13\).
On calcule le produit de ces nombres plus \(1\) :
\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031\)
La décomposition en facteurs premiers de \(30031\) est \(30031 = 59 \times 509\).
\(59\) et \(509\) sont premiers mais ne sont pas dans la liste initiale qui est donc incomplète.
On calcule le produit de ces nombres plus \(1\) :
\(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031\)
La décomposition en facteurs premiers de \(30031\) est \(30031 = 59 \times 509\).
\(59\) et \(509\) sont premiers mais ne sont pas dans la liste initiale qui est donc incomplète.
Remarque : Cette méthode de démonstration permet aussi de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\) et \(6n+5\), toujours avec \(n\) un entier.
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