Publié le mardi 08 décembre 2020 2 min
Démontrer que deux nombres entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux
Soit \(a\) un nombre entier naturel, \(a\) et \(a+1\) sont alors deux nombres entiers consécutifs (qui se suivent).On cherche à prouver qu'ils sont toujours premiers entre eux.
Définition : deux nombres entiers sont dits premiers entre eux (ou étrangers) s'ils n'ont qu'un diviseur commun : \(1\) ou \(-1\).
On note \(m\) un diviseur de \(a\) et \(a+1\).On a donc \(\dfrac{a}{m}\) un entier, et \(\dfrac{a+1}{m}\) un autre entier.
\(\dfrac{a+1}{m}=\dfrac{a}{m}+\dfrac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{m}=\dfrac{a+1}{m}-\dfrac{a}{m}\)
\(\dfrac{a+1}{m}\) et \(\dfrac{a}{m}\) étant des entiers, \(\dfrac{1}{m}\) aussi en est un.
Or, \(\dfrac{1}{m}\) ne peut être entier que si \(m=1\) ou \(m=-1\).
Donc le seul diviseur commun à \(a\) et \(a+1\) est \(1\) ou \(-1\), donc ils sont premiers entre eux.
Remarque : On peut aussi utiliser l'identité de Bézout :
\(a\) et \(a+1\) sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(x\times a + y \times (a+1)=1\).
Pour \(x=-1\) et \(y=1\), on a alors : \(-a+a+1=1\)
Donc \(a\) et \(a+1\) sont premiers entre eux.
Cette autre démonstration est plus courte mais fait appel à une identité qu'il faut connaître.
\(a\) et \(a+1\) sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs \(x\) et \(y\) tels que \(x\times a + y \times (a+1)=1\).
Pour \(x=-1\) et \(y=1\), on a alors : \(-a+a+1=1\)
Donc \(a\) et \(a+1\) sont premiers entre eux.
Cette autre démonstration est plus courte mais fait appel à une identité qu'il faut connaître.
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