Publié le mercredi 30 septembre 2020 2 min
Résoudre une équation du second degré avec la méthode du discriminant
Définition : une équation du second degré est une équation donc la forme simplifiée peut s'écrire \(ax^2 + bx + c = 0\), avec \(a\), \(b\) et \(c\) des réels donnés et \(a \neq 0\).
La première chose à faire pour résoudre une telle équation est donc de la réduire pour obtenir une telle forme. Si on n'obtient pas de \(x^2\), alors il s'agit d'une équation du première degré, et si on obtient des puissances de \(x\) supérieures à \(2\) il s'agit d'une équation d'un degré supérieur, ce que nous n'aborderons pas ici.On repère donc les valeurs des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\). Elles permettent de résoudre l'équation à partir de formules.
On commence par calculer le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
Le nombre de solutions dépend du signe du discriminant \(\Delta\).
Si \(\Delta > 0\), l'équation a deux solutions réelles :
\(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Si \(\Delta = 0\), l'équation n'a qu'une seule solution :
\(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\)
Si \(\Delta < 0\), l'équation n'a pas de solution réelle.
Enfin, on écrit l'ensemble solution, en précisant que c'est l'ensemble vide (\(S = \emptyset\)) lorsque \(\Delta < 0\).
Remarque : on travaille ici dans l'ensemble des réels, dans l'ensemble des nombres complexes, il peut y avoir des solutions lorsque le discriminant est de \(0\).
Exemples :
Résoudre \(2x^2-6x+7=0\) dans \(\mathbb{R}\).
On calcule le disciminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 7 = 36 - 32 = 4\)
\(\Delta > 0\), l'équation a donc deux solutions :
\(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_1 = \dfrac{-(-6)-\sqrt{4}}{2 \times 2} = \dfrac{6-2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\)
\(x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2 = \dfrac{-(-6)+\sqrt{4}}{2 \times 2} = \dfrac{6+2}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)
\(S = \{1; 2\}\)
On calcule le disciminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 7 = 36 - 32 = 4\)
\(\Delta > 0\), l'équation a donc deux solutions :
\(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_1 = \dfrac{-(-6)-\sqrt{4}}{2 \times 2} = \dfrac{6-2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\)
\(x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2 = \dfrac{-(-6)+\sqrt{4}}{2 \times 2} = \dfrac{6+2}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)
\(S = \{1; 2\}\)
Résoudre \(-x^2+2x-1=0\).
On calcule le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = 2^2-4 \times -1 \times -1 = 4-4=0\)
\(\Delta = 0\), il n'y a donc qu'une solution :
\(x_0 =\dfrac{-b}{2a}\)
\(x_0= \dfrac{-2}{2 \times -1}=\dfrac{-2}{-2}=1\)
\(S = \{1\}\)
On calcule le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = 2^2-4 \times -1 \times -1 = 4-4=0\)
\(\Delta = 0\), il n'y a donc qu'une solution :
\(x_0 =\dfrac{-b}{2a}\)
\(x_0= \dfrac{-2}{2 \times -1}=\dfrac{-2}{-2}=1\)
\(S = \{1\}\)
Résoudre \(5x^2+3x-8 = 0\) dans \(\mathbb{R}\).
On calcule le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = 3^2 - 4 \times 5 \times 8 = 9 - 160 = -151\)
\(\Delta < 0\), il n'y a donc pas de solutions réelles.
\(S = \emptyset\)
On calcule le discriminant :
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = 3^2 - 4 \times 5 \times 8 = 9 - 160 = -151\)
\(\Delta < 0\), il n'y a donc pas de solutions réelles.
\(S = \emptyset\)
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