Publié le lundi 28 septembre 2020 3 min
Convertir un nombre entier naturel décimal en binaire
Dans la vie de tous les jours, nous écrivons les nombre en base \(10\), c'est à dire que nous utilisons \(10\) caractères \((0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\) pour écrire les valeurs des nombres entiers positifs (aussi appelés entiers naturels).Il est possible d'écrire un nombre dans d'autres bases, en utilisant plus ou moins de caractères. La base deux, appelée base binaire, utilise seulement deux caractères : \(0\) et \(1\), pour écrire les nombres. Cette base est notamment utilisée par les ordinateurs pour effectuer des calculs.
La conversion d'un nombre entier naturel en binaire est simple et peut s'effectuer à la main.
Pour cela, on part du nombre que l'on veut convertir, et fait la division euclidienne par \(2\). On obtient donc un quotient et un reste égal à \(0\) ou à \(1\). On note le reste, et on recommence à faire la division euclidienne du quotient par \(2\), et ainsi de suite jusqu'à avoir un quotient de zéro.
Remarque : il est plus facile d'écrire les résultats en ligne les uns en dessous des autres, comme cela est montré dans les exemples, en posant éventuellement les divisions compliquées, que d'enchaîner directement les divisions. Cela permet d'avoir une meilleure lisibilité et donc d'éviter les erreurs.
Lorsqu'on arrive à un quotient de \(0\), on s'arrête et on écrit à la suite tous les restes que l'on a eu, en commençant par les premiers (les plus anciens que l'on ait calculés). On a alors l'écriture binaire du nombre.Remarque : pour ne pas mélanger nombres décimaux et binaires, on écrit en indice la base dans laquelle est écrit le nombre, ainsi \((101)_{10}\) vaut \(101\) en décimal, alors que \((101)_2\) vaut \(5\) en décimal.
Exemples :
Conversion de \((50)_{10}\) en binaire :
\(50 = 2 \times 25 + 0\)
\(25 = 2 \times 12 + 1\)
\(12 = 2 \times 6 + 0\)
\(6 = 2 \times 3 + 0\)
\(3 = 2 \times 1 + 1\)
\(1 = 2 \times 0 + 1\)
On écrit alors les restes "en remontant" : \((110010)_2\) est donc l'écriture binaire de 50.
\(50 = 2 \times 25 + 0\)
\(25 = 2 \times 12 + 1\)
\(12 = 2 \times 6 + 0\)
\(6 = 2 \times 3 + 0\)
\(3 = 2 \times 1 + 1\)
\(1 = 2 \times 0 + 1\)
On écrit alors les restes "en remontant" : \((110010)_2\) est donc l'écriture binaire de 50.
Convertir \(485\) en binaire :
\(485 = 2 \times 242 + 1\)
\(242 = 2 \times 121 + 0\)
\(121 = 2 \times 60 + 1\)
\(60 = 2 \times 30 + 0\)
\(30 = 2 \times 15 + 0\)
\(15 = 2 \times 7 + 1\)
\(7 = 2 \times 3 + 1\)
\(3 = 2 \times 1 + 1\)
\(1 = 2 \times 0 + 1\)
On écrit ensuite le résultat : \((485)_{10} = (111100101)_2\).
\(485 = 2 \times 242 + 1\)
\(242 = 2 \times 121 + 0\)
\(121 = 2 \times 60 + 1\)
\(60 = 2 \times 30 + 0\)
\(30 = 2 \times 15 + 0\)
\(15 = 2 \times 7 + 1\)
\(7 = 2 \times 3 + 1\)
\(3 = 2 \times 1 + 1\)
\(1 = 2 \times 0 + 1\)
On écrit ensuite le résultat : \((485)_{10} = (111100101)_2\).
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