Démontrer que \(0.999… = 1\)

Le nombre \(0.999…\) est un nombre décimal périodique, c'est à dire que ses décimales se répètent à l'infini, et dans ce cas précis il y a une infinité de \(9\) après la virgule.

Aussi étonnant que cela puisse paraître, ce nombre est égal à \(1\). \(0.999…\) et \(1\) sont deux notations différentes pour le même nombre.

Il existe plusieurs façons de démontrer cette égalité :

Première méthode : avec les multiplications de fractions
\(\frac{1}{3}=0.333…\)
\(\Rightarrow \frac{1}{3} \times 3 = 0.333… \times 3\)
\(\Rightarrow 1 = 0.999...\)
Ou bien avec \(\frac{1}{9}\) :
\(\frac{1}{9}=0.111...\)
\(\Rightarrow \frac{1}{9}\times 9=0.111... \times 9\)
\(\Rightarrow 1=0.999...\)

Seconde méthode : travail sur les décimales
\(x=0.999...\)
\(10x=0.999...\times 10=9.99...\)
\(10x-x=9.99...-x\)
\(9x=9\)
\(\frac{9x}{9}=\frac{9}{9}\)
\(x=1\)
Or on a aussi \(x=0.999...\), ainsi \(1=0.999...\).

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