Démontrer que la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls vaut \(\frac{n(n+1)}{2}\)

\(S_n\) est la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls, on peut donc écrire :
\(S_n = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n\)

On peut aussi écrire :
\(S_n = n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1\)

On additionne ces deux expressions terme à terme :
\(2 \times S_n = (n+1) + (n-1+2) + (n-2+3)+ ... +(n-2+3) + (n-1+2)+ (n+1)\)

On peut alors simplifier pour obtenir :
\(2S_n=(n+1)+(n+1)+(n+1)+ ...+(n+1)+(n+1)+(n+1)\)

On remarque que l'on additionne \(n\) fois le terme \(n+1\). On peut donc utiliser une multiplication pour écrire plus simplement :
\(2S_n=n\times (n+1)\)
\(\Rightarrow S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)

On a ainsi démontré que la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls est égale à \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).

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