Publié le mercredi 19 août 2020 3 min
Démontrer la formule quadratique
La formule quadratique, parfois utilisée par l'intermédiaire du discriminant, permet de résoudre une équation du second degré. Toute équation du second degré est un polynôme de la forme :\( ax^2+bx+c=0\)
Avec \(a\), \(b\) et \(c\) des réels connus et \(a \neq 0\).
Résoudre une telle équation revient à chercher toutes les valeurs de \(x\) vérifiant l'égalité.
La formule quadratique permet de trouver les deux solutions (elles sont ici distinctes) :
\(x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}} {2a}\)
Et \(x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
Pour trouver cette formule, on part de l'équation initiale \(ax^2+bx+c=0\) et on cherche à isoler \(x\).
Pour cela on commence par multiplier chaque côté par \(4a\) :
\(4a \times (ax^2+bx+c)=4a \times 0\)
\(\Rightarrow 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\)
On passe ensuite \(4ac\) de l'autre côté de l'égalité :
\( 4a^2x^2+4abx=-4ac\)
On ajoute \(b^2\) de chaque côté, l'objectif est d'obtenir l'identité remarquable suivante : \(m^2+2mn+n^2=(m+n)^2\).
\(\Rightarrow 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\)
On peut alors faire apparaître l'identité remarquable de manière plus simple :
\( (2ax)^2 + 2\times 2ax \times b + b^2=b^2-4ac\)
On factorise alors et on obtient :
\( (2ax+b)^2=b^2-4ac \)
Il y a alors deux possibilités : soit \(2ax+b\) est positif, soit il est négatif. Il y a donc deux solutions.
Premier cas : \(2ax+b\) est positif
On fait la racine de chaque membre de l'égalité :
\(\sqrt{(2ax+b)^2} = \sqrt{b^2-4ac}\)
\(\Rightarrow 2ax+b = \sqrt{b^2-4ac}\)
On isole ensuite \(x\) simplement en passant \(+b\) de l'autre côté puis en divisant par \(2a\) :
\(2ax = - b + \sqrt{b^2-4ac}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Second cas : \(2ax+b\) est négatif
On fait la racine de chaque membre de l'égalité :
\(\sqrt{(2ax+b)^2} = - \sqrt{b^2-4ac}\)
\(\Rightarrow 2ax+b = - \sqrt{b^2-4ac}\)
On isole ensuite \(x\) simplement en passant \(+b\) de l'autre côté puis en divisant par \(2a\) :
\(2ax = - b - \sqrt{b^2-4ac}\)
\(\Rightarrow x = \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
On a donc réussit à isoler \(x\) dans l'équation de départ et on a démontré la formule quadratique.
Remarque : dans l'ensemble des réels, la racine d'un nombre négatif n'existe pas, donc si \(b^2-4ac\) est négatif il n'y a pas de solution réelle à cette équation.
Pour simplifier ce raisonnement, on passe souvent par le discriminant \(\Delta = b^2-4ac\), que l'on commence par calculer. On vérifie s'il est positif ou nul (s'il est nul les deux solutions trouvées avec la formule quadratique sont identiques : il n'y en a en vérité qu'une seule).
De plus cela permet de simplifier le calcul car \(b^2-4ac\) est une partie commune aux deux solutions.
Pour simplifier ce raisonnement, on passe souvent par le discriminant \(\Delta = b^2-4ac\), que l'on commence par calculer. On vérifie s'il est positif ou nul (s'il est nul les deux solutions trouvées avec la formule quadratique sont identiques : il n'y en a en vérité qu'une seule).
De plus cela permet de simplifier le calcul car \(b^2-4ac\) est une partie commune aux deux solutions.
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