Publié le jeudi 09 juillet 2020 1 min
Démontrer que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels.Par définition : un nombre rationnel s'écrit sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec \(p\) un entier relatif et \(q\) un entier naturel non nul.
On peut donc écrire :\(a = \frac{p}{q}\) et \(b = \frac{y}{z}\)
avec \(p\) et \(y\) des entiers relatifs et \(q\) et \(z\) des entiers naturels non nuls.
Soit \(c\) le produit de \(a\) et \(b\) :
\(c = a \times b = \frac{p}{q} \times \frac{y}{z} = \frac{p \times y}{q \times z}\)
Propriété : le produit de deux nombres entiers est un nombre entier.
Donc \(p \times y\) et \(q \times z\) sont des entiers.Alors \(c = \frac{k}{m}\) avec \(k\) et \(m\) des entiers et \(m\) non nul.
Cette expression de \(c\) correspond à la définition d'un nombre rationnel. Donc \(c\) est rationnel.
On a ainsi démontré que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
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