Publié le jeudi 09 juillet 2020
Modifié le dimanche 07 février 2021 à 12h01 1 min
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Démontrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel
Supposons que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.Par définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(\frac{a}{b}\) avec \(a\) un entier relatif et \(b\) un entier naturel non nul, et \(a\) et \(b\) premiers entre eux.
Donc \(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}\)Et \((\sqrt{2})^2 = 2\)
Alors \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{a^2}{b^2}\)
\(\Rightarrow a^2 = 2 \times b^2\)
Ainsi \(a^2\) est pair, ce qui implique que \(a\) est pair.
Il existe donc un entier naturel \(k\) tel que \(a = 2k\).
Donc \(a^2 = 2b^2\)
\(\Rightarrow (2k)^2 = 2b^2\)
\(\Rightarrow 4k^2 = 2b^2\)
\(\Rightarrow b^2 = 2k^2\)
De même, \(b^2\) est pair ce qui implique que \(b\) est pair.
Par conséquent, \(a\) et \(b\) étant pairs, il est possible de simplifier la fraction \(\frac{a}{b}\) par \(2\), ce qui contredit l'hypothèse que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
On aboutit donc à une absurdité avec l'hypothèse de départ, qui est donc fausse.
On a ainsi démontré que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
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