Publié le jeudi 09 juillet 2020
Modifié le jeudi 21 janvier 2021 à 15h10 2 min
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Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres rationnels.Par définition : un nombre rationnel s'écrit sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec \(p\) un entier relatif, \(q\) un entier naturel non nul et avec \(p\) et \(q\) premiers entre eux.
On peut donc noter :\(a=\frac{p}{q}\) et \(b=\frac{m}{n}\)
avec \(p\) et \(m\) des entiers relatifs et \(q\) et \(n\) des entiers naturels non nuls.
On note \(c\) la somme de \(a\) et \(b\) :
\(c = a +b = \dfrac{p}{q} + \dfrac{m}{n} = \dfrac{pn + qm}{nq}\)
Propriétés : Or le produit de deux nombres entiers est un nombre entier, et la somme de deux nombres entiers est aussi un nombre entier.
On obtient alors :\(c = \frac{y}{x}\) avec \(y\) et \(x\) des entiers.
Cette expression de \(c\) correspond à la définition d'un nombre rationnel, donc \(c\) est rationnel.
On a ainsi démontré que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
Remarque : étant donné que la soustraction d'un nombre par un autre revient à l'addition de l'opposé de ce dernier nombre, cette démonstration est également valable pour la différence entre deux nombres rationnels.
\( a- b = a + (-b) \)
\( a- b = a + (-b) \)
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