Publié le jeudi 09 juillet 2020 2 min
Démontrer que le produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres décimaux.Par définition : un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(\dfrac{a}{10^p}\) avec \(a\) un entier relatif et \(k\) un entier naturel.
On a donc :\(a = \dfrac{c}{10^d}\) et \(b = \dfrac{e}{10^f}\) avec \(c\) et \(e\) des entier relatifs et \(d\) et \(f\) des entiers naturels.
On note \(g\) le produit de \(a\) et \(b\) :
\(g = a \times b = \dfrac{c}{10^d} \times \dfrac{e}{10^f}\)
\(\Rightarrow g = \dfrac{c \times e}{10^{d+f}}\)
Donc \(g=\dfrac{m}{10^n}\) avec \(m = c \times e\) et \(n = d+f\).
Propriété : le produit de deux entiers relatifs est également un entier relatif, de même la somme de deux entiers naturels est un entier naturel.
Donc \(m\) est un entier relatif et \(n\) un entier naturel. Ainsi l'expression de \(g\) sous la forme \(g=\dfrac{m}{10^n}\) correspond à la définition d'un nombre décimal. \(g\) est donc un nombre décimal.On a ainsi démontré que le produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
Remarque : le quotient \(\frac{a}{b}\) pouvant également s'écrire sous la forme du produit \(a \times \frac{1}{b}\), cette démonstration suffit à prouver que le quotient de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
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