Expression de la somme \(\sum_{q=0}^n q \times q!\)

\(\forall n \in \mathbb{n}\),
\(u_n = n \times n!\)

\(S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n\)
\(S_n = 0 \times 0! + 1 \times 1! + 2 \times 2! + ... + n \times n!\)

Après avoir calculé les premiers termes de \((S_n)\), on émet une conjecture que l'on cherche à prouver : \(S_n = (n+1)!-1\).

Pour cela, on utilise une démonstration par récurrence.

\(S_0 = 0 \times 0! = 0\)
\((0+1)!-1=1-1=0\)
On a donc bien \(S_0=(0+1)!-1\).

On suppose maintenant que \(S_n = (n+1)!-1\) pour tout entier naturel \(n\).
\(S_{n+1} = S_n + u_{n+1}\)
\(S_{n+1} = (n+1)!-1 + (n+1) \times (n+1)!\)
\(S_{n+1} = (n+1)! \times (n+2) -1\)
\(S_{n+1} = (n+2)! - 1\)
Ce qui confirme la formule conjecturée.

D'après le principe de récurrence, on peut donc affirmer que pour tout entier naturel \(n\) :
\(1 \times 1! + 2 \times 2! + ... + n \times n! = (n+1)!-1\)
Ecrit d'une autre façon, on a:
\(\sum_{q=0}^n q \times q! = (n+1)!-1\)

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