Démontrer que la somme des carrés des longueurs des médianes d'un triangle est égale aux trois quarts de la somme des carrés des longueurs de ses côtés

Soient trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan qui forment le triangle \(ABC\).
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([CB]\) et \(K\) le milieu de \([CA]\).
\([CI]\), \([AJ]\) et \([BK]\) sont les médianes du triangle.

\(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CI}^2 = (\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BA})^2\)
\(\Leftrightarrow CI^2 = CB^2 + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{BA} + \frac{1}{4} BA^2\)

On exprime \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{BA}\) ainsi :
\(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{BA} = -\frac{1}{2}(BC^2 + BA^2 - AC^2)\)
On a ainsi \(CI^2 = CB^2 -\frac{1}{2}(BC^2 + BA^2 - AC^2) + \frac{1}{4}BA^2\).

\(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AJ}^2 = (\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CB})^2\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AJ}^2 = AC^2 + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} + \frac{1}{4}CB^2\)

On exprime \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}\) ainsi :
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = -\frac{1}{2}(CA^2 + CB^2 - AB^2)\)
On a ainsi \(AJ^2 = AC^2 -\frac{1}{2}(CA^2 + CB^2 - AB^2) + \frac{1}{4}CB^2\).

\(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BK}^2 = (\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC})^2\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BK}^2 = BA^2 + \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}AC^2\)

On exprime \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC}\) ainsi :
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)\)
On a ainsi \(BK^2 = BA^2 -\frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) + \frac{1}{4}AC^2\)

On note \(s\) la somme des carrés des longueurs des médianes :
\(s = CI^2 + AJ^2 + BK^2\)
\(\Leftrightarrow s = (CB^2 -\frac{1}{2}(BC^2 + BA^2 - AC^2) + \frac{1}{4}BA^2) + (AC^2 -\frac{1}{2}(CA^2 + CB^2 - AB^2) + \frac{1}{4}CB^2) + (BA^2 -\frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2) + \frac{1}{4}AC^2)\)
\(\Leftrightarrow s = (BC^2 -\frac{1}{2}BC^2 -\frac{1}{2}BC^2 +\frac{1}{4}BC^2 +\frac{1}{2}BC^2) + (AB^2 -\frac{1}{2}AB^2 -\frac{1}{2}AB^2 +\frac{1}{4}AB^2 +\frac{1}{2}AB^2) + (AC^2 -\frac{1}{2}AC^2 -\frac{1}{2}AC^2 +\frac{1}{4}AC^2 +\frac{1}{2}AC^2)\)
\(\Leftrightarrow s = \frac{3}{4}BC^2 + \frac{3}{4}AB^2 + \frac{3}{4}AC^2\)
\(\Leftrightarrow s = \frac{3}{4} \times (AB^2 + AC^2 + BC^2)\)

On obtient ainsi :
\(CI^2 + AJ^2 + BK^2 = \frac{3}{4} \times (AB^2 + AC^2 + BC^2)\)

La somme des carrés des longueurs des médianes d'un triangle est donc égale aux trois quarts de la somme des carrés des longueurs des côtés.

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