Publié le mercredi 08 juillet 2020 2 min
Démontrer que \(\frac{1}{3}\) n'est pas décimal
Remarque : Pour réaliser cette démonstration, on utilise la méthode de la démonstration par l'absurde. On commence donc par supposer que quelque chose est vrai afin de montrer que cette supposition amène à une absurdité. On en déduit alors que la propriété supposée vraie est en fait fausse.
Supposons que \(\frac{1}{3}\) soit décimal.Par définition on sait qu'un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme \(\dfrac{a} {10^p}\) avec \(a\) un entier et \(p\) un entier naturel.
Alors \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^p}\) Donc \(3 \times a = 10^p\)
Ce qui implique que \(10^p\) est divisible par \(3\). Or un nombre est divisible par \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\). La somme des chiffres de \(10^p\) est \(1\) est \(1\) n'est pas divisible par \(3\).
On aboutit donc à une absurdité avec l'hypothèse \(\frac{1}{3}\) est décimal. Cette hypothèse est donc fausse et \(\frac{1}{3}\) n'est pas un nombre décimal.
Remarque : cette démonstration peut s'appliquer pour \(\frac{1}{9}\), il suffit de rappeler qu'un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\), ce qui n'est pas le cas de \(1\).
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