Publié le mardi 25 août 2020
Modifié le dimanche 24 janvier 2021 à 11h36 1 min
Modifié le dimanche 24 janvier 2021 à 11h36 1 min
Démontrer que la dérivée \((u+v)'\) vaut \(u' + v'\)
Soient les fonction \(u\) et \(v\) définies sur un intervalle \(I\), la somme de ces deux fonctions s'écrit \(u+v\). La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions. Ainsi \((u+v)'=u'+v'\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(I\) :\(f(x) = u(x) + v(x)\)
On détermine la dérivée de \(f\) pour tout nombre de \(I\).
\(f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
\(\Rightarrow f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{(u(x+h)+v(x)) - (u(x)+v(x))}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{u(x+h)+v(x) - u(x) - v(x)}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{u(x+h)-u(x) + v(x+h)-v(x)}{h}\)
Or \(u'(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\) et \(v'(x) = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}\). On peut donc réécrire l'expression sous la forme \(f'(x)=u'(x) + v'(x)\).
On a ainsi démontré que la dérivée de la somme de deux fonctions était égale à la somme de la dérivée de chaque fonction, soit \((u+v)' = u' + v'\).
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