Déterminer la dérivée d'une fonction

Il est possible de déterminer le nombre dérivée d'une fonction en un point, mais cette méthode est basée sur la conjecture est ne donne pas des résultats exacts, mais des approximations seulement. Il existe donc une autre méthode qui consiste à trouver, pour chaque fonction \(f\), une fonction dérivée \(f'\) telle que pour tout \(x\), \(f'(x)\) est le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).

On cherche donc à déterminer l'expression de \(f'(x)\) pour tout \(x\). Cette nouvelle fonction peut ensuite être utilisée pour déterminer les extremums de \(f\) et ainsi établir son tableau de variations.

Le tableau ci-dessous donne les fonctions dérivées de la plupart des fonctions de référence :

Fonction	Domaine de définition	Domaine de dérivation	Fonction dérivée	Démonstration
Fonction constante \(f(x)=k\)	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)	\(f'(x) = 0\)	voir la démonstration
Fonction affine \(f(x)=ax+b\)	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)	\(f'(x) = a\)	voir la démonstration
Fonction carré \(f(x)=x^2\)	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)	\(f'(x) = 2x\)	voir la démonstration
Fonction valeur absolue \(f(x)=|x|\)	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R^*}\)	\(f'(x)=-1\) si \(x < 0\) et \(f'(x)=1\) si \(x>0\)	voir la démonstration

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