Publié le lundi 27 juillet 2020
Modifié le mercredi 10 mars 2021 à 11h00 1 min
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Démontrer que la dérivée de la fonction affine \(f(x) = ax+b\) est \(f'(x) = a\)
Soit \(f\) la fonction affine \(f(x) = ax+b\).On cherche le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).
\(f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{a(x+h) +b - (ax+b)}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ax + ah + b- ax - b}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ah}{h}\)
\(\Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} a\)
Donc \(f'(x) =a\) pour tout \(x\).
On a ainsi démontré que la fonction dérivée d'une fonction affine \(f(x) = ax+b\) est \(f'(x) = a\).
Remarque : Une fonction linéaire étant une fonction affine avec une ordonnée à l'origine nulle, on en déduit que la dérivée de \(g(x)=ax\) est \(g'(x)=a\). De même une fonction constante est une fonction affine de coefficient directeur nul, donc la dérivée de \(h(x)=b\) est \(h'(x)=0\).
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