Démontrer que la dérivée de \(f(x) =x^2\) est \(f'(x) = 2x\)

Soit \(f\) une fonction telle que \(f(x) =x^2\) .

On calcule le nombre dérivée de \(f\) en \(x\) :
\(f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
\(f'(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h) ^2 - x^2}{h} \)
\(f'(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 +2xh + h^2 - x^2}{h} \)
\(f'(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h} \)
\(f'(x) =\lim\limits_{h \to 0} 2x+h = 2x\)
Lorsque \(h\) tend vers \(0\), alors \(2x+h\) tend vers \(2x\).
Donc pour tout réel \(x\), \(f'(x) =2x\).

On a ainsi démontré que la fonction dérivée de \(f(x) =x^2\) est \(f'(x) =2x\). Cette fonction est définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\).

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