Publié le vendredi 10 juillet 2020 2 min
Trouver une fonction à partir d'une droite passant par deux points
Propriété : La représentation graphique d'une fonctionne affine (ou linéaire) est une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. En connaissant les coordonnées de deux points de cette droite, on peut retrouver l'expression de la fonction associée.
Soient deux points \(A(x_a; y_a)\) et \(B(x_b; y_b)\) de la droite représentative d'une fonction affine. La fonction affine \(f\) peut s'écrire sous la forme :
\(f(x) = m \times x + p\)
On cherche \(m\) et \(p\).
Il existe une formule pour trouver \(m\) :
\(m=\dfrac{y_b - y_a}{x_b - x_a}\)
On a donc \(f(x) = m \times x + p\) avec \(m\) connu. Il ne reste plus qu'à trouver \(p\).
Pour cela on choisit un des deux points \(A\) ou \(B\) (le résultat sera le même dans les deux cas), et on résout l'équation :
\(y_a = m \times x_a + p \Rightarrow p = y_a - m \times x_a\)
Ou bien en choisissant le point \(B\):
\(y_b = m \times x_b + p \Rightarrow p = y_b - m \times x_b\)
On a donc trouvé \(m\) et \(p\), on peut donc écrire la fonction \(f\) sous la forme \(f(x) =m \times x+p\).
Exemple :
Trouver la fonction affine dont la courbe \(C_f\) passe par les points \(A(-2; 4)\) et \(B(5;-3)\).
Cette fonction peut s'écrire sous la forme :
\(f(x) =m \times x+p\)
\(m= \dfrac{-3 - 4}{5-(-2)} = \dfrac{- 7}{7} = - 1\)
On cherche \(p\):
\(4 = -1 \times (-2) + p\)
\(\Rightarrow 4 = 2 +p\)
\(\Rightarrow 4-2=p\)
\(\Rightarrow p=2\)
On a donc \(f(x) =-1 \times x+2\) (on pourrait aussi écrire \(f(x) =-x+2\) ).
Pour être certains, on peut vérifier le résultat, on calcule donc :
\(f(-2)=-(-2)+2=2+2=4\)
Donc la droite \(C_f\) passe bien par \(A\).
\(f(5)=-5+2=-3\)
Donc la droite \(C_f\) passe bien par \(B\).
Cette fonction peut s'écrire sous la forme :
\(f(x) =m \times x+p\)
\(m= \dfrac{-3 - 4}{5-(-2)} = \dfrac{- 7}{7} = - 1\)
On cherche \(p\):
\(4 = -1 \times (-2) + p\)
\(\Rightarrow 4 = 2 +p\)
\(\Rightarrow 4-2=p\)
\(\Rightarrow p=2\)
On a donc \(f(x) =-1 \times x+2\) (on pourrait aussi écrire \(f(x) =-x+2\) ).
Pour être certains, on peut vérifier le résultat, on calcule donc :
\(f(-2)=-(-2)+2=2+2=4\)
Donc la droite \(C_f\) passe bien par \(A\).
\(f(5)=-5+2=-3\)
Donc la droite \(C_f\) passe bien par \(B\).
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