Critère de divisibilité par \(4\)

Soit \(x\) un nombre entier. On a démontrer la propriété suivant :On peut décomposer \(x\) ainsi :
\(x = 1000a + 100b + 10c + d\)
\(\Rightarrow x = (10a+b) \times 100 + 10c + d\)
Avec \(b\), \(c\) et \(d\) entre \(0\) et \(9\) compris.Or \(100 = 4 \times 25\); ce qui implique que \((10a+b) \times 100 = 4 \times 25 \times (10a+b)\). Donc \((10a+b) \times 100\) est divisible par \(4\).

Il reste maintenant à déterminer si \(10c + d\) est divisible par \(4\).

Si c'est le cas, alors \(\dfrac{10c+d}{4}\) est un entier. On peut alors écrire :
\(x = 4 \times 25 \times (10a+b) + 4 \times \dfrac{10c+d}{4}\)
On factorise et on obtient :
\(x = 4 \times (25 \times (10a+b)+\dfrac{10c+d}{4})\)
\(\Rightarrow x = 4n\) avec \(n =(25 \times (10a+b)+\dfrac{10c+d}{4})\) un entier.
Dans le cas où \(10c+d\) est divisible par \(4\), alors \(x\) est divisible par \(4\).

Dans le cas où \(10c+d\) n'est pas divisible par \(4\) on ne peut pas écrire \(x\) sous la forme \(4n\) avec \(n\) un entier. Donc \(x\) n'est pas divisible par \(4\) si \(10c+d\) ne l'est pas.

Le fait que \(x\) est divisible par \(4\) ou non dépend donc de la divisibilité de \(10c+d\) par \(4\).

Or dans \(10c+d\), \(c\) correspond au chiffre des dizaines de \(x\) et \(d\) à son chiffre des unités. Donc \(10c+d\) correspond au nombre formé par les deux derniers chiffres de \(x\).

On a donc démontré qu'un nombre est divisible par \(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\).

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