Publié le jeudi 09 juillet 2020
Modifié le samedi 13 mars 2021 à 16h39 2 min
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Calculer la distance entre deux points avec un vecteur
Pour calculer une distance entre deux points, il est possible d'utiliser un vecteur passant par ces deux points et d'en calculer la norme.Pour cela il est nécessaire de se placer dans un repère orthonormé car la formule est basée sur le théorème de Pythagore, qui s'applique dans un triangle rectangle uniquement.
Soient deux point \(A(x_a; y_a)\) et \(B(x_b; y_b)\) du plan.
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées :
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_b - x_a \\ y_b - y_a \end{pmatrix}\)
On a donc les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) que l'on note \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\).
La norme de ce vecteur, notée \(||\overrightarrow{AB}||\) vaut alors :
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Remarque : On peut aussi utiliser la formule \(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}\) ou \(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}\), que l'on déduit du théorème de Pythagore. L'illustration suivante met en évidence cette situation :
La norme \(||\overrightarrow{AB}||\) a pour valeur la distance entre \(A\) et \(B\) (l'unité est celle utilisée dans le plan).Exemple :
\(A(3;2)\) et \(B(6;4)\)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 4-2\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} =\sqrt{4+9}\)
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{13} ≈ 3,6\)
La distance entre \(A\) et \(B\) est donc de \(3,6\) environ.
\(A(3;2)\) et \(B(6;4)\)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 4-2\end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{2^2 + 3^2} =\sqrt{4+9}\)
\(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{13} ≈ 3,6\)
La distance entre \(A\) et \(B\) est donc de \(3,6\) environ.
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