Publié le jeudi 09 juillet 2020 1 min
Résoudre une équation du second degré de la forme \(a \times b = 0\) (produit nul)
Pour résoudre une équation de la forme \(a \times b = 0\), on utilise la propriété suivante :Propriété : si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
On a donc \(a = 0\) ou \(b = 0\). On résout ensuite les sous-équations \(a\) et \(b\) et on obtient deux solutions.
Exemples :
Résoudre \(4x^2- 81 =0\).
D'abord, on factorise grâce à l'identité remarquable \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) :
\(4x^2-81 =0\)
\(\Rightarrow (2x)^2- 9^2 =0\)
\(\Rightarrow (2x+9)\times(2x-9) =0\)
On a dont \(2x+9=0\) ou \(2x-9=0\).
\(2x=-9 \Rightarrow x=\frac{-9}{2}\)
\(2x=9 \Rightarrow x=\frac{9}{2}\)
On a donc \(S=\{\frac{-9}{2}; \frac{9}{2}\}\).
D'abord, on factorise grâce à l'identité remarquable \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) :
\(4x^2-81 =0\)
\(\Rightarrow (2x)^2- 9^2 =0\)
\(\Rightarrow (2x+9)\times(2x-9) =0\)
On a dont \(2x+9=0\) ou \(2x-9=0\).
\(2x=-9 \Rightarrow x=\frac{-9}{2}\)
\(2x=9 \Rightarrow x=\frac{9}{2}\)
On a donc \(S=\{\frac{-9}{2}; \frac{9}{2}\}\).
Résoudre \(x^2 + 4x + 4 = 0\).
On commence par factoriser avec l'identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\(x^2 + 4x + 4 = 0\)
\(\Rightarrow (x+2)^2 =0\)
\(\Rightarrow (x+2)\times(x+2)=0\)
On a donc \(x+2=0\) (les deux facteurs sont identiques, il est donc inutile de calculer les deux).
\(\Rightarrow x=-2\)
Il n'y a qu'une solution, \(x=-2\).
On commence par factoriser avec l'identité remarquable \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\(x^2 + 4x + 4 = 0\)
\(\Rightarrow (x+2)^2 =0\)
\(\Rightarrow (x+2)\times(x+2)=0\)
On a donc \(x+2=0\) (les deux facteurs sont identiques, il est donc inutile de calculer les deux).
\(\Rightarrow x=-2\)
Il n'y a qu'une solution, \(x=-2\).
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