Formule pour la somme \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2\)

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on considère les sommes :
\(S_n = 1+2+3+...+n = \frac{n \times (n+1)}{2}\)
\(D_n = 1+2^2+3^2+...+n^2\)
\(T_n = 1+2^3+3^3+...+n^3\)

On développe \((n+1)^3\) :
\((n+1)^3 = (n^2+2n+1)(n+1) = n^3+2n^2+n+n^2+2n+1 = n^3+3n^2+3n+1\)

On a \(T_{n+1} - T_n = (n+1)^3\).

\(T_{n+1} = \underbrace{(n+1)^3+n^3+...+3^3+2^3}_{n \ \text{termes}}+1\)
\(T_{n+1} = \left. \begin{array}{ll} n^3+3n^2+3n+1 \\ +(n-1)^3 + 3(n-1)^2 + 3(n-1) +1 \\ +... \\ + 2^3 + 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1 \\ + 1^3 + 3 \times 1^2 + 3 \times 2 + 1 \end{array} \right\} n \ \text{termes} \\ + 1\)

On peut donc écrire :
\(T_{n+1} = (n^3 + (n-1)^3 + ... + 2^3 + 1^3) + 3 \times (n^2 + (n-1)^2 + ... + 2^2 + 1^2) + 3 \times (n + (n-1) + ... + 2 + 1) + n \times 1 + 1\)
A partir des expressions de \(S_n\); \(D_n\) et \(T_n\) on peut donc écrire :
\(T_{n+1} = T_n + 3 \times D_n + 3 \times S_n + n + 1\)

On cherche à calculer \(D_n\) :
\(3 \times D_n = (T_{n+1} - T_n) - 3 \times S_n - n - 1\)
\(\Leftrightarrow 3 \times D_n = (n+1)^3 - 3 \times \frac{n \times (n+1)}{2} - n -1\)
\(\Leftrightarrow 3 \times D_n = n^3+3n^2+3n+1-\frac{3}{2}n^2-\frac{3}{2}n-n-1\)
\(\Leftrightarrow D_n = \frac{n^3}{3}+n^2+n-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n-\frac{n}{3}\)
\(\Leftrightarrow D_n = \frac{2n^3+6n^2+6n-3n^2-3n-2n}{6}\)
\(\Leftrightarrow D_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{n \times (2n^2+3n+1}{6}\)
\(\Leftrightarrow D_n = \frac{n \times (n+1) \times (2n+1)}{6} = \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n\)

La méthode utilisée peut être appliquée pour toutes les puissances, en connaissant chaque fois les expressions pour les puissances inférieures.

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