Publié le lundi 15 mars 2021
Modifié le mardi 16 mars 2021 à 18h07 1 min
Modifié le mardi 16 mars 2021 à 18h07 1 min
Démonstration de la formule d'Al-Kashi
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois point du plan formant le triangle \(ABC\).\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)
et \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)\)
\(AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)\)
\(\Leftrightarrow 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = AB^2 + AC^2 - BC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)
Ainsi, on a prouvé que :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)
De la même manière on a :
\(AC^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})\)
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC\times BC \times \cos(\widehat{BCA})\)
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\)
De la même manière on a :
\(AC^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})\)
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC\times BC \times \cos(\widehat{BCA})\)
Remarque : Cette propriété permet de calculer les angles dans un triangle lorsque l'on connait les longueurs des trois côtés.
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