Montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point

Publié le dimanche 14 mars 2021
Modifié le dimanche 14 mars 2021 à 14h46 1 min

Montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point

Définition : dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle est appelé l'orthocentre.

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(M\) quatre points du plan.
On cherche à prouver que :
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)

\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MA} \cdot (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MA}) + \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA})\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{MA}) + \overrightarrow{CA} \cdot (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MA})\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)

Soit \(H\) le point d'intersection des hauteurs issues de \(A\) et \(B\) dans le triangle \(ABC\).
On a \(\overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{HB} \perp \overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\) et \(\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{CA} = 0\)
D'après la relation démontrée ci-dessus :
\(\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)
\(\Leftrightarrow 0 + 0 + \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{HC} \perp \overrightarrow{AB}\)
\((HC)\) est donc la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\).
Le point \(H\) appartient donc aux trois hauteurs du triangle \(ABC\).

Les trois hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.

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